martes, 9 de noviembre de 2010

Fenomenos de la función: definicion de las funciones

Objetivo
A través de la definición y desarrollo de una función pretendemos explicar cuales son los diversos usos de las funciones en la vida diaria, porque son importantes y por que una simple relación de valores nos puede ayudar a interpretar un sin fin de posibilidades, situaciones y hechos que nos acontecen.
Además de introducirnos a su origen, desarrollo, fenómeno y uso, esperamos obtener alguna aplicación adicional a la científica, es decir, dejar de lado el concepto teórico y como tal demostrar, que las funciones tienen un uso muy práctico y útil en la vida diaria.


Marco Teórico

La función

En matemáticas la función se puede definir como la relación entre un valor “x” (dominio) y un valor “y” (contra dominio); el dominio toma un valor cualquiera del cual se desprende el valor de la función “y”, esto quiere decir que el valor de “y” dependerá del valor de “x” dado o asignado. Así mismo podemos definir a la función como la simple relación entre dos datos o valores, los cuales uno representa la imagen o reflejo del otro.
Definimos a las funciones según el valor que toma el dominio. Cuando una función se clasifica por la cantidad de valores que puede tomar el dominio, ya sea uno o más de uno se clasifica de la siguiente forma:
Para la función   f(x)=b (*)

§  La función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
§  La función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
§  La función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Cuando la función se clasifica por el valor numérico en el dominio (independientemente del número de soluciones del mismo) se clasifica de la siguiente forma:

Funciones algebraicas


Son aquellas en las que su dominio está compuesto por un valor real, el cual está constituido solamente por funciones aritméticas simples  tanto en su base como en su exponente, es decir, el exponente debe estar constituido por un número natural. La función algebraica de esta manera está compuesta por un polinomio (o conjunto de monomios) que puede ser resuelto con adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales.

Las funciones polinómicas son las funciones   
    f: xàP(x)
Donde P(x) es un polinomio en x, x R, es decir, una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

P(x)=∑n (ai .xi) i=0

“a” es el coeficiente real por el dominio “x” en una sumatoria finita de monomios desde cero hasta “n”.

P(x)= A0 x0 + A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + An xn


Según el grado del polinomio las funciones polinómicas pueden clasificarse en:

Grado
Nombre
Expresión
0
función constante
y = a
1
función lineal
y = ax + b es un binomio del primer grado
2
función cuadrática
y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3
función cúbica


La función racional se entiende como la división de dos polinomios de dominio x en ambos casos:

F(x)=P(x)
         Q(x)

Donde P y Q son polinomios  regidos por el mismo dominio.

La función radical en la que su dominio parte de una raíz de un número real.

f(x)= √x


Por último la función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real  f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por ejemplo, sea la función f definida a trozos de la función valor absoluto:



Así mismo la variable x toma distintos valores a raíz de una primicia original.

Gráficas de las funciones algebraicas





Funciones trascendentales


Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia infinita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Existen tres tipos distintos de funciones trascendentales: exponencial, logarítmica, y la trigonométrica.

La función exponencial es aquella donde la variable “y” se encuentra en función de un coeficiente elevado a la “x” potencia, es decir el dominio se encuentra como exponente y el coeficiente como base. Esta función se interpreta como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... 

Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp (x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
















La función trigonométrica (o función circular) es la que parte de un ángulo y que se reconoce por su proporción geométrica en el triangulo. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.

Razones trigonométricas


El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo  \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.



Salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.



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